Xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

Nếu đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và cũng không song song với mặt phẳng thì đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm duy nhất. Điểm này gọi là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng. Ta đã biết mặt phẳng thì "mênh mông", do đó việc xác định chính xác vị trí của giao điểm này là không đơn giản. Tuy nhiên ta có thể "khoanh vùng" vị trí của giao điểm nhờ nhận xét dưới đây.

Nhận xét. Nếu đường thẳng $\Delta$ cắt đường thẳng $a$ tại điểm $A$ và đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ thì điểm $A$ cũng chính là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với mặt phẳng $(\alpha)$.

Thật vậy, vì $A=\Delta\cap a$ nên $A\in \Delta$ và $A\in a\subset (\alpha)$. Do đó $A$ là điểm chung giữa đường thẳng $\Delta$ với mặt phẳng $(\alpha)$. Từ nhận xét này ta "khoanh vùng" được giao điểm $A$ nằm trên một đối tượng "hẹp" hơn là đường thẳng $a$. Điều này sẽ giúp ta xác định được chính xác vị trí giao điểm giữa đường thẳng với mặt phẳng thông qua thuật toán như sau.

Thuật toán.

Bước 1. Chọn mặt phẳng $(\beta)$ đi qua đường thẳng $\Delta$.
Bước 2.Xác định giao tuyến $a=(\beta) \cap (\alpha) $.
Bước 3. Trong $(\beta)$ gọi $A$ là giao điểm giữa $\Delta$ với $a$.
Bước 4. Kết luận $A=\Delta \cap (\alpha)$.

Các bước xác định giao điểm giữa đường thẳng với mặt phẳng.

Ví dụ.  Cho hình chóp $S.ABCD$ và 3 điểm $M, N, P$ lần lượt nằm trên $SA$, $SB$, $SC$. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Tìm giao điểm giữa
a) $SI$ với mặt phẳng $(MNP)$.
b) $SD$ với mặt phẳng $(MNP)$.

Lời giải

* Phân tích. a)Trước tiên, ta xem xét $SI$ có cắt đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng $(MNP)$ không? Dễ thấy $SI$ và $MP$ đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng $(SAC)$), hơn nữa $SI$ không song song với $MP$, tức là $SI$ phải cắt $MP$ tại một điểm $J$. Như vậy, theo nhận xét ở trên thì $J$ chính là giao điểm giữa $SI$ với mặt phẳng $(MNP)$.

b)Theo thuật toán ở trên, ta chọn một mặt phẳng chứa $SD$ sao cho việc xác định giao tuyến giữa mặt phẳng này với mặt phẳng $(MNP)$ dễ dàng nhất. Trên hình vẽ, các mặt phẳng sẵn có mà đi qua $SD$ là $(SAD)$, $(SBD)$,$(SCD)$. Trong số 3 mặt phẳng này thì mặt phẳng $(SBD)$ phù hợp nhất với yêu cầu của chúng ta. Dễ thấy $(SBD)\cap (MNP)=NJ$. Khi đó, trong mặt phẳng $(SBD)$ gọi $Q=NJ\cap SD$ thì $Q$ chính là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(MNP)$.

Bài tập.

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ và $M$ là một điểm trên cạnh $SC$.
a) Tìm giao điểm của $AM$ và $(SBD)$.
b) Gọi $N$ là một điểm trên cạnh $BC$. Tìm giao điểm của $SD$ và $(AMN)$.

Bài 2. Cho tứ diện $ABCD$ và $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Gọi $K$ là một điểm trên cạnh $BD$ và không trùng với trung điểm của $BD$. Tìm giao điểm của $CD$ và $AD$ với mặt phẳng $(MNK)$.

Bài 3. Cho tứ diện $ABCD$ và $M, N$ lần lượt là hai điểm trên $AC$ và $AD$. Gọi $O$ là một điểm bên trong tam giác $BCD$. Tìm giao điểm của:
a) $MN$ và $(ABO)$.
b) $AO$ và $(BMN)$.

Bài 4.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC, và K là điểm trên BD với KD < KB. Dựng giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK).

Bài 5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang và AD song song với BC. Lấy M, N là 2 điểm tùy ý trên SB, SD. Tìm giao điểm giữa
a. MP và (SBD).
b. SD và (MNP).
c. SC và (MNP).
 
Bài 6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SB, AD và G là trọng tâm tam giác SAD.
a. Tìm giao điểm  I của GM và (ABCD).
b. Tìm giao điểm J giữa AD và (OMG).
c. Tìm giao điểm K giữa SA và (OGM).
 
Bài 7.
Cho hình chóp S.ABCD. Lấy M là một điểm trên cạnh SC.
a. Tìm giao điểm của AM và (SBD).
b. Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).
 
Bài 8.
Cho hình chóp S.ABCD. Lần lượt lấy trên SA, AB và BC các điểm M, N, P sao cho NP không song song với AD và CD. Dựng giao điểm của SD, SC với mặt phẳng (MNP).
 
Bài 9.
Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên AB và N trong tam giác BCD. Dựng giao điểm của AC với mặt phẳng (MND).
 
Bài 10.
Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên AB và điểm N trên AC và I ở trong tam giác BCD. Dựng giao điểm  của BC, CD với mặt phẳng (IMN).
 
Bài 11.
Cho hình chóp S.ABCD và điểm M ở trên SB. Dựng giao điểm của SC với mặt phẳng (ADM).
 
Bài 12.
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần lượt trên SA, AB, BC.

a. Tìm giao điểm của IK với (SBD).

b. Tìm các giao điểm của (IJK)  với SD và SC.
 
Bài 13.
Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên AB, điểm N trong tam giác BCD và điểm K trong tam giác ACD. Dựng giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK).