Câu 1. Xác định tham số $m$ để hàm số $y=x^3-3(m+1)x^2+9x-m$ đạt cực trị tại $x_1, x_2$ sao cho $|x_1-x_2|\leq 2\;?$
Câu 2. Cho hàm số $y=x^3+2(m-1)x^2+(m^2-4m+1)x-2(m^2+1)$. Tìm tham số $m$ để hàm số đạt cực trị tại $x_1, x_2$ sao cho$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{2}(x_1+x_2).$$
Câu 3. Cho hàm số $y=\frac{1}{3}x^3+(m-2)x^2+(5m+4)x+3m+1$. Tìm tham số $m$ để hàm số đạt cực trị tại $x_1, x_2$ sao cho $x_1<2<x_2$.
Câu 2. Cho hàm số $y=x^3+2(m-1)x^2+(m^2-4m+1)x-2(m^2+1)$. Tìm tham số $m$ để hàm số đạt cực trị tại $x_1, x_2$ sao cho$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{2}(x_1+x_2).$$
Câu 3. Cho hàm số $y=\frac{1}{3}x^3+(m-2)x^2+(5m+4)x+3m+1$. Tìm tham số $m$ để hàm số đạt cực trị tại $x_1, x_2$ sao cho $x_1<2<x_2$.
Hướng dẫn câu 1.
ReplyDeleteĐiều kiện để hàm bậc ba có hai cực trị là gì?
Ta có thể biến đổi $|x_1-x_2|<2$ thành bất đẳng thức tương đương nào?
Nội dung định lý Vi-et phát biểu thế nào?
Giải đáp câu 1.
ReplyDeleteĐạo hàm $y^\prime = 3x^2-6(m+1)x+9$ có biệt thức $$\Delta=36(m^2+2m-2)$$
Hàm bậc ba có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình $y^\prime =0$ có hai nghiệm phân biệt. Do đó,yêu cầu bài toán được viết lại như sau:
$\begin{cases}\Delta>0\\|x_1-x_2|<2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m^2+2m-2>0\\(x_1-x_2)^2<4\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m\in (-\infty, -1-\sqrt{3})\cup (-1+\sqrt{3};+\infty)\\(x_1+x_2)^2-4x_1x_2<4\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m\in (-\infty, -1-\sqrt{3})\cup (-1+\sqrt{3};+\infty)\\ [2(m+1)]^2-4.3<4\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m\in (-\infty, -1-\sqrt{3})\cup (-1+\sqrt{3};+\infty)\\ m\in (-3;1)\end{cases}\Leftrightarrow m\in (-3;-1-\sqrt{3})$
Vậy giá trị $m$ cần tìm là $m\in (-3;-1-\sqrt{3})$ :)
Câu 2
ReplyDelete$y'=3^{2} +4(m-1)x + m^{2}-4m+1$
Hàm bậc ba có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình $y^\prime$=0 có hai nghiệm phân biệt. Do đó,yêu cầu bài toán được viết lại như sau:
$\begin{cases}\Delta > 0\\\frac{1}{x_{1}} +\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{2} (x_{1}+x_{2})\end{cases}\$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m^{2} + 4m +1> 0\\\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{1}{2}(x_{1}+x_{2})\end{cases}\$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m \epsilon \left ( -\propto\right,-4-\sqrt{3} )\cup (-4+\sqrt{3},+\propto )\\(x_{1}+x_{2})(2-x_{1}x_{2})=0\end{cases}
\$