Phương trình thuần nhất bậc n đối với sin x và cos x

Trong chương trình môn Toán lớp 11 ta được học phương trình dạng $$a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=0\qquad (1)$$
Phương trình $(1)$ có tên gọi là "phương trình thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$". Ở đây tên gọi "thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$" là vì mỗi số hạng ở vế trái của $(1)$ đều có bậc hai: $\sin^2x, \cos^2x$, số hạng có chứa $\sin x\cos x$ cũng được xem là bậc hai vì $\sin x\cos x=\sin^1x\cos^1x$ và $1+1=2$.

Cách giải phương trình $(1)$.

Bước 1. Thay giá trị $\cos x=0$ (hoặc $\sin x=0$) vào phương trình $(1)$. Nếu giá trị đó thỏa mãn phương trình $(1)$ thì khẳng định phương trình có họ nghiệm $x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (hoặc $x=k\pi, k\in\mathbb{Z}$).

Bước 2. Với $\cos x\neq 0$ (hoặc $\sin x\neq 0$), chia 2 vế phương trình $(1)$ cho $\cos x$ (hoặc $\sin x$) ta thu được phương trình bậc hai đối với hàm số $\tan x$ (hoặc $\cot x$). Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác này ta sẽ tìm được nghiệm $x$.

Bước 3. Tổng hợp nghiệm ở Bước 1 và Bước 2 rồi kết luận nghiệm của phương trình.

Từ sự giải thích tên gọi "phương trình thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$" ở trên, ta khái quát lên thành phương trình thuần nhất bậc $n$ đối với $\sin x$ và $\cos x$. Đó là phương trình mà có một vế bằng $0$ và mỗi số hạng ở vế còn lại có tổng số mũ của $\sin x$ và $\cos x$ bằng $n$. Ví dụ như
$$\sin^3x+2\sin^2 x\cos x +3\sin x\cos^2 x -6\cos^3x=0\qquad (2)$$

$$\sin^4x+2\sin x\cos^3x -3\sin^2x\cos^2x=0\qquad (3)$$
Phương trình $(2), (3)$ lần lượt có tên gọi là phương trình thuần nhất bậc $3$, bậc $4$ đối với $\sin x$ và $\cos x$.

Cách giải phương trình thuần nhất bậc $n$ đối với $\sin x$ và $\cos x$ hoàn toàn tương tự như cách giải phương trình $(1)$.

Chú ý. Từ hằng đẳng thức lượng giác $\sin^2x+\cos^2x=1$ mà phương trình $$a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=d$$ có thể biến đổi về dạng phương trình $(1)$ như sau
\begin{array}{l l}
&a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=d\\
\Leftrightarrow & a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=d(\sin^2x+\cos^2x)\\
\Leftrightarrow & (a-d).\sin^2x+b.\sin x\cos x +(c-d).\cos^2x=0
\end{array}
Bài tập. Giải các phương trình dưới đây

$1)\quad \sin^2x-3\sin x\cos x+1=0,$
$2)\quad \sin^2x+2\sin x\cos x +3\cos^2x-3=0,$
$3)\quad \sqrt{3}\sin x+\cos x=\dfrac{1}{\cos x},$
$4)\quad 2\sin^3x-5\sin^2x\cos x+4\sin x\cos^2x-\cos^3x=0,$
$5)\quad 2\sin^3x+4\sin^2x\cos x +\cos x-4\sin x=0,$
$6)\quad 4\sin^3x + 3\cos^3x-3\sin x-\sin^2x\cos x=0,$
$7)\quad \cos^3x -4\sin^3x-3\cos x\sin^2x+\sin x=0,$
$8)\quad 2\cos^3x=\sin 3x,$
$9)\quad \sin x\sin 2x +\sin 3x=6\cos^3x,$
$10)\quad \sqrt{2}\sin^3\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sin x.$