Nếu đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và cũng không song song với mặt phẳng thì đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm duy nhất. Điểm này gọi là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng. Ta đã biết mặt phẳng thì "mênh mông", do đó việc xác định chính xác vị trí của giao điểm này là không đơn giản. Tuy nhiên ta có thể "khoanh vùng" vị trí của giao điểm nhờ nhận xét dưới đây.

Nhận xét. Nếu đường thẳng $\Delta$ cắt đường thẳng $a$ tại điểm $A$ và đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ thì điểm $A$ cũng chính là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với mặt phẳng $(\alpha)$.

Thật vậy, vì $A=\Delta\cap a$ nên $A\in \Delta$ và $A\in a\subset (\alpha)$. Do đó $A$ là điểm chung giữa đường thẳng $\Delta$ với mặt phẳng $(\alpha)$. Từ nhận xét này ta "khoanh vùng" được giao điểm $A$ nằm trên một đối tượng "hẹp" hơn là đường thẳng $a$. Điều này sẽ giúp ta xác định được chính xác vị trí giao điểm giữa đường thẳng với mặt phẳng thông qua thuật toán như sau.


Bước 1. Chọn mặt phẳng $(\beta)$ đi qua đường thẳng $\Delta$.
Bước 2.Xác định giao tuyến $a=(\beta) \cap (\alpha) $.
Bước 3. Trong $(\beta)$ gọi $A$ là giao điểm giữa $\Delta$ với $a$.
Bước 4. Kết luận $A=\Delta \cap (\alpha)$.

Các bước xác định giao điểm giữa đường thẳng với mặt phẳng.

Ví dụ.  Cho hình chóp $S.ABCD$ và 3 điểm $M, N, P$ lần lượt nằm trên $SA$, $SB$, $SC$. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Tìm giao điểm giữa
a) $SI$ với mặt phẳng $(MNP)$.
b) $SD$ với mặt phẳng $(MNP)$.

Lời giải



* Phân tích. a)Trước tiên, ta xem xét $SI$ có cắt đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng $(MNP)$ không? Dễ thấy $SI$ và $MP$ đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng $(SAC)$), hơn nữa $SI$ không song song với $MP$, tức là $SI$ phải cắt $MP$ tại một điểm $J$. Như vậy, theo nhận xét ở trên thì $J$ chính là giao điểm giữa $SI$ với mặt phẳng $(MNP)$.

b)Theo thuật toán ở trên, ta chọn một mặt phẳng chứa $SD$ sao cho việc xác định giao tuyến giữa mặt phẳng này với mặt phẳng $(MNP)$ dễ dàng nhất. Trên hình vẽ, các mặt phẳng sẵn có mà đi qua $SD$ là $(SAD)$, $(SBD)$,$(SCD)$. Trong số 3 mặt phẳng này thì mặt phẳng $(SBD)$ phù hợp nhất với yêu cầu của chúng ta. Dễ thấy $(SBD)\cap (MNP)=NJ$. Khi đó, trong mặt phẳng $(SBD)$ gọi $Q=NJ\cap SD$ thì $Q$ chính là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(MNP)$.

Bài tập.