Ví dụ
Khai triển $P(x)=\left(1+3x\right)^8$ thành đa thức $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{8}x^{8}$. Tìm số lớn nhất trong các số $a_0, a_1,a_2,\dots, a_8$.
Giải.
Ta có $\displaystyle P(x)=\left(1+3x\right)^8=\sum_{k=0}^8C_8^k.3^k.x^k.$ Như vậy $a_k=C_8^k.3^k,\;k=0, 1, 2,..., 8$.
Giả sử $a_k\leq a_{k+1}$. Khi đó, \begin{align*}
&\;C_8^k.3^k\leq C_8^{k+1}.3^{k+1}\Leftrightarrow \dfrac{8!}{k!(8-k)!}\leq 3\cdot\dfrac{8!}{(k+1)!(7-k)!}\\
\Leftrightarrow&\; k+1\leq 3(8-k)\Leftrightarrow k\leq \dfrac{23}{4}=5.75\Leftrightarrow k\in\{0; 1; 2; 3; 4; 5\}.
\end{align*}
Suy ra, $a_0\leq a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq a_5\leq a_6$ và $a_7\geq a_8$.
So sánh $a_6=C_8^6.3^6=20412$ với $a_7=C_8^7.3^7=17496$ ta có $a_6$ là số lớn nhất trong các số $a_0, a_1,a_2,\dots, a_8$.

Nhận xét.

+) Lời giải trên đã sử dụng ý tưởng phân dãy số hạng $a_1, a_2, \dots, a_n$ thành nhiều nhóm nhỏ, rồi tìm số hạng lớn nhất trong mỗi nhóm, từ đó so sánh chúng với nhau và tìm được số hạng lớn nhất.

+) Để dễ hình dung, giả sử ta phân được thành 3 nhóm và các số hạng trong mỗi nhóm sẽ tăng dần hoặc giảm dần. Chẳng hạn như,
$$\big| \underbrace{a_1\leq a_2\leq \dots\leq a_i}_{\text{nhóm 1}}\big| \underbrace{ a_{i+1}\geq a_{i+2}\geq\dots\geq a_j}_{\text{nhóm 2}} \big|\underbrace{a_{j+1}\leq a_{j+2}\leq\dots\leq a_n}_{\text{nhóm 3}}\big|$$
Như vậy, số hạng lớn nhất trong nhóm 1 là $a_i$, số hạng lớn nhất trong nhóm 2 là $ a_{i+1}$, số hạng lớn nhất trong nhóm 3 là $a_n$. Tiếp tục so sánh 3 số $a_i, a_{i+1}, a_n$ với nhau để tìm ra số hạng lớn nhất trong cả dãy $a_1, a_2, \dots, a_n$.

+) Bằng cách giải bất phương trình $a_k\leq a_{k+1}$ với ẩn là số nguyên $k$ nằm trong giới hạn từ $1$ đến $n$ ta sẽ phân được thành các nhóm mà số hạng trong mỗi nhóm tăng dần. Còn lại các số nguyên $k$ nằm trong giới hạn từ $1$ đến $n$ nhưng không thỏa mãn bất phương trình $a_k\leq a_{k+1}$ thì sẽ là nghiệm của bất phương trình $a_k\geq a_{k+1}$, nên các số nguyên $k$ này sẽ phân thành các nhóm mà số hạng trong mỗi nhóm giảm dần. Cụ thể như trong ví dụ trên, bất phương trình $a_k\leq a_{k+1}$ nghiệm đúng với các số nguyên $k\leq \dfrac{23}{4}=5.75$, tức là $k\in\{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$. Như thế $a_0\leq a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq a_5\leq a_6$. Các số nguyên còn lại là nghiệm của bất phương trình $a_k\geq a_{k+1}$, nghĩa là $a_7\geq a_8$.

Bài tập.
1) Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của $\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2x}{3}\right)^{10}$.