Trong chương trình toán phổ thông, phương trình lượng giác là phần làm cho nhiều học sinh lúng túng bởi có quá nhiều công thức biến đổi. Để lựa chọn được công thức phù hợp cho mỗi bước biến đổi, học sinh cần phải nắm rõ các công thức đó và có một số định hướng cụ thể.

Ở lớp 11, học sinh được học và trang bị phương pháp giải 5 dạng phương trình thường gặp: phương trình lượng giác cơ bản; phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; phương trình thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$; phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$; phương trình đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$. Cả 5 dạng này có điểm đặc trưng là: có cùng một loại góc, chứa tối đa 2 hàm số lượng giác, bậc cao nhất là 2.

Các kỳ thi quan trọng như đại học, cao đẳng sẽ phân loại và tuyển chọn ra các sinh viên có kiến thức cơ bản và khả năng ứng biến linh hoạt cho các ngành nghề. Chính vì thế, 5 dạng phương trình thường gặp trên sẽ được biến đổi khác xa so với nguyên gốc ban đầu để thử thách các thí sinh. Thông thường người ta sẽ dùng các công thức liên hệ giữa các góc để làm cho phương trình có nhiều loại góc khác nhau, nhiều hàm số lượng giác, làm cho bậc của phương trình tăng lên. Bên cạnh đó, người ta cũng nhân các phương trình thường gặp (trong số 5 phương trình ở trên ) lại với nhau và sắp xếp thành một phương trình lạ lẫm. Vậy để tiếp cận với bài toán phương trình lượng giác, học sinh cần phải nắm vững các định hướng sau:

1.  Đưa về cùng một loại góc hoặc một nhóm các góc giống nhau.
2.  Đưa về cùng một hàm số lượng giác.
3.  Hạ bậc.
4.  Biến đổi về phương trình tích.

Một số công thức đặc biệt thường dùng khi biến đổi đưa về phương trình tích.

•  $\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x).$

•  $\cos^2x=(1-\sin x)(1+\sin x).$

•  $\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).$

•  $1+\sin 2x=(\sin x+\cos x)^2.$

•  $1-\sin 2x=(\sin x-\cos x)^2=(\cos x-\sin x)^2.$

Ví dụ 1. Giải phương trình $\cos 2x +5\sin x -4=0.$
Giải
Phương trình có 2 loại góc là $x$ và $2x$. Do đó, ta dùng công thức nhân đôi để đưa về cùng một loại góc $x$. Tuy nhiên $\cos 2x$ có đến 3 công thức biến đổi ($\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$), cho nên ta phải lưu ý lựa chọn công thức sao cho phù hợp với hàm số lượng giác còn lại trong phương trình. Với định hướng như vậy ta có lời giải sau
$$\begin{array}{l l}
&\cos 2x +5\sin x -4=0\\
\Leftrightarrow & 1-2\sin^2x+5\sin x-4=0\\
\Leftrightarrow & -2\sin^2x+5\sin x-3=0\\
\Leftrightarrow &\left [\begin{array}{l}
\sin x=1\\
\sin x=\frac{3}{2}\quad (\text{vô nghiệm})
\end{array}\right. \\
\Leftrightarrow & x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\quad (k\in\mathbb{Z}).\end{array}
$$
Ví dụ 2.Giải phương trình $\sin^2x +\sin^2 2x=\cos^2 3x+\cos^2 4x.$
Giải
Nhận thấy các số hạng có trong phương trình đều có bậc 2 nên trước tiên, ta sẽ dùng công thức hạ bậc. Khi đó ta thu được phương trình
$$\begin{array}{l l}
&\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}\\
\Leftrightarrow & \cos 6x +\cos 8x +\cos 2x +\cos 4x=0
\end{array}$$ Đến đây ta có được phương trình chỉ chứa hàm số cosin, tuy nhiên có đến 4 loại góc khác nhau là: $2x, 4x, 6x, 8x$. Việc biến đổi 4 loại góc này về cùng một loại góc rất khó khăn và làm bậc của phương trình tăng lên. Cho nên, ta nghĩ đến việc biến đổi về phương trình tích. Để ý giữa 4 loại góc trên có mối liên hệ $8x + 2x= 6x + 4x =10x$, do đó, ta sẽ nhóm các số hạng như sau
$$\begin{array}{l l}
&(\cos 8x +\cos 2x)+(\cos 6x +\cos 4x)=0\\
\Leftrightarrow & 2\cos 5x \cos 3x +2\cos 5x \cos x=0\\
\Leftrightarrow & 2\cos 5x (\cos 3x+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow & 4\cos 5x\cos 2x\cos x=0\\
\Leftrightarrow & \left [\begin{array}{l}
\cos 5x=0\\
\cos 2x=0\\
\cos x=0
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left [\begin{array}{l}
5x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x=\frac{\pi}{2}+k\pi
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left [\begin{array}{l}
x=\frac{\pi}{10}+k\frac{\pi}{5}\\
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
x=\frac{\pi}{2}+k\pi
\end{array}\right.
\end{array}$$
Ví dụ 3. Giải phương trình $2\sin^3 x+\cos 2x +\cos x=0.$
Giải
Phương trình có chứa số hạng bậc 3 và có 2 loại góc: $x, 2x$. Nếu ta hạ bậc 3 thì sẽ sinh ra thêm loại góc $3x$. Khi đó phương trình sẽ phức tạp hơn. Như vậy, ta dùng công thức nhân đôi để đưa về cùng một loại góc $x$ như dưới đây.
$$
2\sin^3 x+1-2\sin^2 x+\cos x=0
$$ Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là vì sao không dùng các công thức $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2 x-1$? Do phương trình có chứa $\sin^3 x$ nên ta sẽ lựa chọn công thức nào có chứa hàm số sin để gộp với $\sin^3 x$ thành một nhóm và hy vọng xuất hiện nhân tử chung để thuận lợi cho định hướng chuyển về phương trình tích sau này. Vậy sao không dùng $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$? Rõ ràng, với định hướng đưa về cùng một hàm số lượng giác thì $1-2\sin^2 x$ tốt hơn $\cos^2x-\sin^2 x$. Hơn nữa, $\sin^3x$ còn đi kèm với hệ số 2 nên chọn $1-2\sin^2 x$ là hợp lý nhất. Ta tiếp tục biến đổi phương trình thành
$$\begin{array}{l l}
&(2\sin^3x-2\sin^2x)+(1+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow&2\sin^2x(\sin x-1)+(1+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow & 2(1+\cos x)(1-\cos x)(\sin x-1)+(1+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow & (1+\cos x)\left[2(1-\cos x)(\sin x-1)+1\right]=0\\
\Leftrightarrow &(1+\cos x)\left[2(\sin x+\cos x)-2\sin x\cos x -1\right]=0\\
\Leftrightarrow &\left [\begin{array}{l}
1+\cos x=0\\
2(\sin x+\cos x)-2\sin x\cos x-1=0
\end{array}\right.
\end{array}$$ Đến đây, mỗi phương trình ta đều biết cách giải nên chắc chắn sẽ tìm được nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 4. Giải phương trình $\cos^2 x+\sin^3 x+\cos x=0.$
Giải
Điểm thuận lợi của phương trình này là có cùng góc $x$. Chính vì thế ta không nên hạ bậc các số hạng $\cos^2x, \sin^3x$, nếu không các góc sẽ lệch nhau. Do đó ta còn 2 hướng suy nghĩ: đưa về cùng một hàm số lượng giác, đưa về phương trình tích. Nếu đưa về cùng một hàm số lượng giác thì chỉ có biến đổi sin thành cos (do các số hạng còn lại đều là hàm số cosin). Nhưng $\sin^3x$ chuyển lại thành cosin mà không làm thay đổi góc $x$ là không thể. Vậy hướng phân tích về phương trình tích là hợp lý nhất.

Nhìn vào phương trình, không khó để nhận ra $\cos^2x$ "bắt cặp" với $\cos x$. Như vậy ta có biến đổi như sau
$$\begin{array}{l l}
&\cos^2x+\sin^3x+\cos x=0\\
\Leftrightarrow & \cos x(\cos x+1)+\sin^3x=0\\
\Leftrightarrow &\cos x(\cos x+1)+\sin x\sin^2 x=0\\
\Leftrightarrow &\cos x(\cos x+1)+\sin x(1-\cos x)(1+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow & (1+\cos x)\left[\cos x+\sin x(1-\cos x)\right]=0\\
\Leftrightarrow &(1+\cos x)\left(\cos x+\sin x-\sin x\cos x\right)=0\\
\Leftrightarrow & \left[\begin{array}{l}
1+\cos x=0\\
\cos x+\sin x-\sin x\cos x=0\\
\end{array}\right.
\end{array}$$ Việc giải mỗi phương trình thành phần là đơn giản.

Nhìn vào phương trình ta thấy có 4 loại góc: $x, 2x, 3x, 4x$. Việc biến đổi về cùng một loại góc là thực sự khó khăn (chỉ có thể biến đổi về góc chung $x$). Như vậy định hướng đưa về cùng một loại góc không khả thi đối với phương trình này. Tiếp đến, trong phương trình chỉ có mỗi số hạng $\sin^3x$ là bậc 3, số hạng này gây sự chú ý đặc biệt cho ta (vì thông thường, phương trình bậc càng cao sẽ càng khó giải hơn). Do đó ta phải "xử lý" số hạng có chứa $\sin^3x$. Nhìn vế trái của phương trình ta thấy có chứa $\sin x$ nên ta sẽ gộp $\sin^3 x$ với $\sin x$ và xem thử điều gì xảy ra tiếp theo.
$$\begin{array}{l l}
& \sin x +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2(\cos 4x+\sin^3x)\\
\Leftrightarrow & (\sin x -2\sin^3 x) +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x\\
\Leftrightarrow & \sin x(1 -2\sin^2 x) +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x\\
\Leftrightarrow & \sin x \cos 2x +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x
\end{array}$$ Đến đây, không khó để nhận ra $$\sin x \cos 2x +\cos x\sin 2x=\sin (x+2x)=\sin 3x.$$ Như thế phương trình trở thành
$$\sin 3x +\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x$$ Cuối cùng, bạn nào đã giải thành thạo phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$ thì sẽ tự động "bật" ra cách giải phương trình này thôi.
Bài tập.
Giải các phương trình sau

1) $2\sin x +\cos x=\sin 2x +1,$
2) $\cos 7x +\sin 8x = \cos 3x - \sin 2x,$
3) $9\sin x + 6\cos x -3\sin 2x + \cos 2x=8,$
4) $\displaystyle \cos^2 \left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\cos^2 \left(2x+\frac{\pi}{2}\right)+\cos^2 \left(3x-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3}{2},$
5) $\cos^3 x-\sin^3x=\sin x-\cos x,$
6) $2\sin^2 2x +\sin 7x -1=\sin x,$
7) $\cos x+3\sin x=4\sin x\cos^2 x,$
8) $\cos 2x + 3\sin 2x +5\sin x-3\cos x=3$

Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học vài năm qua

1) $\sqrt{3}\sin 2x +\cos 2x =2\cos x-1$ (Đề toán khối A 2012)
2) $2(\cos x+\sqrt{3}\sin x)\cos x=\cos x -\sqrt{3}\sin x +1$ (Đề toán khối B 2012)
3) $\sin 3x +\cos 3x -\sin x+ \cos x=\sqrt{2}\cos 2x$ (Đề toán khối D 2012)
4) $\displaystyle\frac{1+\sin 2x +\cos 2x}{1+\cot^2 x}=\sqrt{2}\sin x\sin 2x $ (Đề toán khối A 2011)

5) $\sin 2x\cos x+\sin x\cos x=\cos 2x+\sin x+\cos x$ (Đề toán khối B 2011)

6) $\displaystyle\frac{\sin 2x +2\cos x-\sin x - 1}{\tan x+\sqrt{3}}=0 $ (Đề toán khối D 2011)

7) $\displaystyle\frac{(1+\sin x +\cos 2x)\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{1+\tan x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x $ (Đề toán khối A 2010)

8) $(\sin 2x +\cos 2x)\cos x+2\cos 2x-\sin x=0$ (Đề toán khối B 2010)

9) $\displaystyle\sin 2x- \cos 2x+3\sin x -\cos x-1=0$ (Đề toán khối D 2010)

10) $\displaystyle\frac{(1-2\sin x)\cos x}{(1+2\sin x)(1-\sin x)}=\sqrt{3}$ (Đề toán khối A 2009)