Bài toán. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác khi điểm A chuyển động trên đường tròn.
Hướng dẫn vẽ hình (bạn trực tiếp vẽ hình vào khung làm việc dưới đây).

Bước 1. Chọn công cụ "Đường tròn khi biết tâm và một điểm trên đường tròn" rồi bạn dựng trên vùng làm việc một đường tròn.
Bước 2. Chọn công cụ "Điểm mới" và đặt lên đường tròn 3 điểm.
Bước 3. Chọn công cụ "Đoạn thẳng" và click chuột vào 2 trong số 3 điểm đã dựng ở bước 2 để dựng tam giác.
Bước 4. Chọn công cụ "Đường vuông góc" rồi click vào 1 đỉnh và một cạnh của tam giác để dựng đường cao. Bạn hãy dựng đủ 3 đường cao nhé.
Bước 5. Chọn công cụ "Giao điểm của hai đối tượng" rồi click chuột vào hai đường cao để dựng trực tâm của tam giác.

Bây giờ bạn di chuyển một đỉnh của tam giác và quan sát sự chuyển động của trực tâm. Từ đó dự đoán quỹ tích của trực tâm là gì? Nếu bạn không đoán được thì hãy làm tiếp Bước 6.
Bước 6. Click chuột phải vào trực tâm và chọn "Mở dấu vết khi di chuyển" rồi di chuyển một đỉnh của tam giác và quan sát quỹ tích của trực tâm.
Bước 7. Bạn có thể click chuột phải vào từng điểm và chọn "đổi tên" để đổi tên các điểm cho trùng với bài toán.



Chương trình GeoGebra Applet không chạy được do trình duyệt của bạn chưa cài đặt phần mềm máy ảo Java. Để cài đặt và tích hợp Java 1.4.2 vào trong trình duyệt bạn hãy (nhấn vào đường link để tải về và tiến hành cài đặt Java.) Phân tích tìm lời giải.
Khi di chuyển điểm A trên đường tròn, ta nhận thấy độ dài đoạn thẳng AH không thay đổi. Từ đó, ta suy nghĩ AH sẽ có mối liên hệ với một đoạn thẳng cố định nào đó. Trong bài toán này, đối tượng cố định chỉ có điểm B, C và tâm đường tròn (O). Vì H là trực tâm nên AH vuông góc với BC. Kết hợp 2 yếu tố: cố định và vuông góc với BC ta liên hệ đến trung điểm I của dây căng cung BC.

Điểm I cố định và OI vuông góc với BC. Dự đoán AH = 2 OI. Từ dự đoán này ta liên hệ đến đường trung bình của một tam giác. Tam giác đó là tam giác nào? Đường trung bình phải đi qua trung điểm của một cạnh tam giác. Suy ra O phải là trung điểm của đoạn thẳng có một đầu mút là điểm A. Như vậy gọi D là điểm đối xứng với A qua O. Khi đó D nằm trên đường tròn (O).

 Nhiệm vụ của ta lúc này là chứng minh I là trung điểm của DH. Để chứng minh điều này ta chỉ cần chứng minh HCDB là hình bình hành. Vận dụng tính chất đường cao và góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ta chứng minh được BH song song với CD, tương tự CH song song với BD. Như thế ta có $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OI}$. Điều này chứng tỏ H là ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ $2\overrightarrow{OI}$. Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì quỹ tích điểm H là đường tròn (O'). Đường tròn (O') là ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ $2\overrightarrow{OI}$